Równania różniczkowe

Termin wykładów: środy 17:05-18:35.
Lokalizacja: sala P-01 bud. C-11.
Literatura:
W. E. Boyce, R. C. DiPrima Elementary differential equations and boundary value problems,
Bardzo dobre e-wydanie tej książki
M. Gewert, Z. Skoczylas Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania,
A. Palczewski Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria i metody numeryczne z wykorzystaniem komputerowego systemu obliczeń symbolicznych,
W. I. Arnold Równania różniczkowe zwyczajne.
22 maja odbył się ostatni wykład z kursu. Wszystkim obecnym dziękujemy za przybycie, oraz zapraszamy na inne kursy prowadzone przez KNM już w następnym semestrze. Informacji szukajcie m.in. na naszej stronie.

UWAGA
Wykład w dniu 8.05.2013 odbędzie się w sali 303 bud. C-7

ĆWICZENIA
Ćwiczenia odbędą się 17.05.2013 o 17:05 w sali 35 w budynku C-4.
Drugie ćwiczenia odbędą się 29.05 (środa, która jest czwartkiem) o 17:05 w sali 35 C-4.
LISTY ZADAŃ
Lista 1.
Lista 2. to zadania
1.17. a,b,c,
2.10.,
2.12. a,b,c,d,
2.13. a,b,
2.17. a,b,
2.18.,
3.3. a,d
z listy ogólnouczelnianej, którą znajdziecie TUTAJ.

NOTATKI (w trakcie udoskonalania) Notatki

Masz pytania, wątpliwości? Pisz na adresy:
Dominik(kropka)Bojko(na)matpwr(kropka)info
Artur(kropka)Rutkowski(na)matpwr(kropka)info
Jesteś zainteresowany laboratoriami? Pisz do:
Krzysztof(kropka)Ławecki(na)matpwr(kropka)info

Zrealizowany materiał + notatki:
WYKŁAD 1. (prowadził Artur Rutkowski) (NOTATKI wkrótce)

  1. Definicja pochodnej, liniowość operacji różniczkowania.
  2. Twierdzenie o ciągłości funkcji rózniczkowalnej.
  3. Pochodne wyższych rzędów.
  4. Równania funkcyjne, równanie f. Cauchy’ego.
  5. Definicja RR zwyczajnego, rząd równania.
  6. Interpretacja geometryczna i fizyczna pochodnej, równanie rozpadu promieniotwórczego.

WYKŁAD 2. (prowadził Tomek Juszczyszyn)

  1. Wzory na pochodną iloczynu i złożenia funkcji.
  2. Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, każda funkcja ciągła ma funkcję pierwotną.
  3. Oznaczenia: szukaną funkcję oznaczamy przez y, zmienną przez t.
  4. Postać równania rózniczkowego liniowego pierwszego rzędu – y’ + p(y)*y = q(t).
  5. Wyprowadzenie wzoru ogólnego na rozwiązanie RR liniowego 1. rzędu metodą czynnika całkującego.
  6. Przykłady RRL 1.RZ. – rozwiązania metodą czynnika całkującego.
  7. Warunek początkowy jako gwarant jednoznaczności rozwiązania RRL 1.RZ.
  8. Wpływ wyboru dziedziny na zbiór rozwiązań

WYKŁAD 3. (prowadził TJ)

  1. Nieliniowe zagadnienia początkowe nie zawsze mają jednoznaczne rozwiązanie.
  2. Równania różniczkowe Bernoulliego: y’ + p(t)y + q(t)y^r = 0.
  3. Podstawienie z = y^(1-r) – sprowadzenie r.r.B. do równania liniowego.
  4. Przykłady r.r.B.
  5. Równanie Riccatiego y’ = p(t)y^2 + q(t)y + r(t) – przykład rodziny „opornych” równań.
  6. Da się wyznaczyć rozwiązania równania Riccatiego znając jedno z nich.
  7. Metoda rozdzielonych zmiennych – formalnie.
  8. Metoda rozdzielonych zmiennych – jak to robią fizycy?

WYKŁAD 4. (prowadził TJ) – Twierdzenie Picarda-Lindelofa

WYKŁAD 5. (prowadził TJ)

  1. Twierdzenie Peano – alternatywna konstrukcja rozwiązań równania rózniczkowego.
  2. Powyższe twierdzenie nie gwarantuje jednoznaczności rozwiązania.
  3. Równania różniczkowe wyższych rzędów.
  4. Przypadek równania jednorodnego o stałych współczynnikach.
  5. Zbiór rozwiązań powyższego równania jest podprzestrzenią liniową przestrzeni funkcji ciągłych.
  6. e^kt jako potencjalne rozwiązanie takiego równania – wielomian charakterystyczny, cdn.
    1. WYKŁAD 6. (prowadził TJ)

      1. Szukanie pierwiastków wielomianu charakterystycznego – 4 przypadki:
        • n róznych pierwiastków rzeczywistych – n rozwiązań postaci e^(kt),
        • n pierwiastków rzeczywistych w tym wielokrotne – rozwiązania postaci t^k * e^(kt),
        • pierwiastki nierzeczywiste o krotności 1 – rozwiązania postaci e^(at)*cos(bt) i e^(at)*sin(bt),
        • uwaga – liczby sprzężone generują te same rozwiązania,
        • wielokrotne pierwiastki zespolone – t^k * e^(at) * cos(bt).
      2. Różnica dowolnych dwóch różnych rozwiązań równania niejednorodnego jest rozwiązaniem równania jednorodnego.
      3. Y = Y’ + c_1 * y_1(t) + … + c_n * y_n(t).
      4. Wniosek: wystarczy znać jedno rozwiązanie równania niejednorodnego, aby znać wszystkie – wystarczy wyznaczyć zbiór rozwiązań równania jednorodnego.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *